Masalah yang mengarah ke konsep limit

Untuk dapat memahami konsep limit dengan baik, perlu kiranya kita renungkan suatu masalah garis singgung dan kecepatan. Karena kita melihat bagaimana limit muncul pada waktu kita mencoba mencari garis singgung pada suatu kurva atau kecepatan sebuah benda.

Masalah garis singgung

Kata garis singgung (tangent) diturunkan dari kata Latin tangens, yang berarti “penyentuhan”. Jadi, garis singgung pada suatu kurva adalah garis yang menyentuh kurva tersebut. Bagaimana gagasan ini dapat dibuat persis?

Untuk lingkaran kita dapat cukup mengikuti Euclides dan mengatakan bahwa garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran sekali dan hanya sekali seperti dalam Gambar 1.1.2 (a). Untuk kurva yang lebih rumit definisi ini tidak memadai. Gambar 1.1.2 (b) memperlihatkan dua garis  dan  yang melalui sebuah titik P pada kurva C. Garis  memotong C hanya sekali, tetapi jelas dia tidak nampak seperti apa yang kita pikirkan sebagai suatu garis singgung. Sebaliknya, garis  tampak sebagai suatu garis singgung tetapi memotong C dua kali.

Untuk lebih jelas, marilah kita perhatikan masalah percobaan menemukan garis singgung  pada parabola  dalam contoh berikut.

Ilustrasi:

Carilah persamaan garis singgung pada parabola  di titik .

Penyelsaian :

Kita akan mampu menemukan persamaan garis singgung  segera setelah kita mengetahui kemiringannya . Kesukarannya adalah kita hanya mengetahui hanya satu titik  pada , sedangkan untuk menghitung kemiringan kita memerlukan dua titik.Tetapi amati bahwa kita dapat menghitung suatu hampiran terhadap m dengan cara memilih sebuah titik yang berdekatan, yakni Q(x,x^2) pada parabola (seperti dalam Gambar 1.1.3) dan menghitung kemiringan m_PQ dari tali busur PQ.

Kita pilih x≠1 sehingga Q≠P. Maka
m_PQ=(x^2-1)/(x-1)
Sebagai contoh, untuk titik Q(1,5; 2,25) kita mempunyai
m_PQ=(2,25-1)/(1,5-1)
=1,25/0,5
=2,5
Tabel 1.1.4 memperlihatkan nilai m_PQ untuk beberapa pilihan x yang dekat ke 1. Semakin dekat Q ke P, semakin dekat x ke 1, dan nampak dalam tabel, semakin dekat m_PQ ke 2. Ini menyarankan bahwa kemiringan garis singgung t seharusnya adalah m=2.
Kita katakan bahwa kemiringan garis singgung adalah limit kemiringan tali busur, dan ini kita nyatakan secara simbolik dengan menuliskan

lim┬(Q→P)⁡〖m_PQ=m〗
dan
〖〖lim⁡〗┬(Q→1) (x^2-1)/(x-1)〗⁡〖=2〗

Dengan menganggap bahwa kemiringan garis singgung memang 2, kita gunakan bentuk kemiringan titik dari persamaan garis untuk menuliskan persamaan garis singgung yang melalui (1,1) sebagai
y-1=2(x-1) atau y=2x-1