Definisi TURUNAN

Fungsi 𝑓 dikatakan mempunyai turunan di a yaitu 𝑓′ (dibaca 𝑓 aksen) yang dirumuskan sebagai

f^’ (a)= lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗

Asalkan limit ada, bukan ∞ atau −∞.
Jika limit ini ada, dikatakan bahwa 𝒇 terdiferensiasi di a

Bentuk Setara untuk Turunan

kemiringan garis sebagai suatu turunan yaitu

f'(a)= lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗atau f’ (c)= lim┬(h→0)⁡〖… /(…)〗

Kedua definisi turunan yang telah kita ketahui dari garis singgung dan kecepatan lazim digunakan fungsi turunan dari sebuah fungsi biasa digunakan untuk mencari nilai turunan pada suatu titik c

contoh soal
Dengan menggunakan definisi turunan menggunakan limit, tentukan turunan fungsi

f(x)=x^2+3 pada x=2

Penyelesaian:
Turunan fungsi f(x)=x^2+3 di x=2 adalah f’ (2)
f’ (2)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

=lim┬(h→0)⁡〖(f(2+h ) – … )/…

=lim┬(h→0)⁡〖(( … ) – ( 2^2+3 ))/…

=lim┬(h→0)⁡〖( … )/h

=lim┬(h→0)⁡〖(4h+h^2)/h

=lim┬(h→0)⁡〖(h ( … ))/h

=lim┬(h→0)⁡〖 …

= …
Maka, f mempunyai turunan di 2 dan f’ (2)= …

Hubungan antara Turunan dan Kekontinuan

Keterdiferensialan berimplikasi pada kontinuitas suatu fungsi. Keterdiferensialan merupakan syarat cukup terjadinya kontinuitas, sementara kontinuitas merupakan syarat perlu keterdiferensialan. Maka, Jika tidak kontinu pasti tidak punya turunan

Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas
Jika f'(c) ada , maka f kontinu di c

Sederhananya, jika suatu fungsi tidak kontinu di suatu titik, maka pasti fungsi tersebut tidak terturunkan di titik yang dimaksud. Jika suatu fungsi kontinu pada suatu titik, belum tentu ia terturunkan di titik tersebut.

Contoh Soal
Fungsi f(x)=|x| kontinu di 0 tapi tidak mempunyai turunan di 0

Penyelesaian:

Ingatlah bahwa nilai |x|={(x jika x≥0 atau -x jika x<0)}

Perhatikan bahwa
lim┬(h→0^+ )⁡〖(f(0+h)-f(0))/h〗

=lim┬(h→0^+ ) (|h|)/h

= lim┬(h→0^+ ) ( … )/h

= …

dan

lim┬(h→0^- )⁡〖(f(0+h)-f(0))/h〗

=lim┬(h→0^- ) (|h|)/h

= lim┬(h→0^- ) ( … )/h

= …

Karena limit kiri dan limit kanan berbeda, berarti f^’ (0) tidak ada.

Notasi Turunan dan Notasi Leibniz

Notasi Turunan

Perlu diingat bahwa turunan suatu fungsi 𝑓 adalah fungsi lain yang dinamai 𝑓′. Kita perhatikan bahwa jika f(x) = 𝑥3 adalah rumus untuk 𝑓, maka 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 adalah rumus untuk 𝑓′. Ketika kita mengambil turunan dari 𝑓, kita katakan bahwa kita menurunkan 𝑓. Turunan beroperasi pada 𝑓 untuk menghasilkan 𝑓′. Lambang D_x sering digunakan untuk menunjukkan operasi turunan

Lambang D_x menyatakan bahwa kita harus mengambil turunan terhadap variable 𝑥. Jadi, dapat kita tuliskan D_x (f(x) ) = 𝑓′(𝑥). Lambang ini disebut juga sebagai operator turunan.

Notasi Leibniz

dy/dx=f'(x)

Sebagai catatan bahwa notasi ini merupakan satu kesatuan, bukan hasil bagi dari 𝑑𝑦 dan 𝑑𝑥.
Dengan demikian, kita mempunyai notasi untuk melambangkan turunan.